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Terre Univers Environnement

.Les équations de Navier-Stokes en Sciences de la Terre et de l’Univers

par Natacha Cauchies - 7 mai 2011 ( maj : 8 mai 2011 )

Journées transversales

Mardi 1er mars 2005, Salle Vercors, 414 rue de la piscine

Claude Louis Navier (1785-1836) George Gabriel Stokes (1819-1903)

Programme

  • 09h00 Turbulence hydrodynamique dans les disques d’accrétion
    P.-Y. Longaretti (LAOG) et G. Lesur (LAOG)
  • 09h30 Ecoulements atmosphériques et approximations
    dans les équations de Navier-Stokes
    H. Gallée (LGGE)
  • 10h00 Modélisation de la dynamique atmosphérique en terrain complexe
    C. Chemel (LEGI)
  • 10h30 Pause
  • 10h45 Modélisation non-hydrostatique en océanographie
    A. Wirth (LEGI)
  • 11h15 Les équations de Navier-Stokes dans les noyaux planétaires
    A. Fournier (LGIT) et D. Schmitt (LGIT)
  • 11h45 Turbulence en rotation : tirer profit de la contrainte de Proudman-Taylor ?
    N. Schaeffer (LGIT)

Résumés et présentations

- Turbulence hydrodynamique dans les disques d’accrétion
P.-Y. Longaretti (LAOG) et G. Lesur (LAOG)
L’objet de cette étude est la détection numérique, puis la description de la turbulence sous-critique, c’est-à-dire, la turbulence apparaissant dans des flots linéairement stables. Cette étude est ciblée sur des écoulements cisaillés et en rotation similaires à ceux présents dans les disques d’accrétion astrophysiques. L’existence d’une turbulence efficace dans les disques est en effet l’un des processus les plus vraisemblables pour assurer le transport nécessaire à l’existence des structures d’accrétion et d’éjection, sur les échelles de temps déduites des observations. La question de l’existence de turbulence hydrodynamique sous-critique dans les disques d’accrétion est ouverte depuis plus de trente ans. Les moyens numériques actuels permettent de l’aborder de front et d’y apporter une réponse tant qualitative (une telle turbulence existe-t-elle ?) que quantitative (quelle est son efficacité pour le transport de masse et de moment cinétique ?) Des simulations effectuées par Balbus, Hawley et leurs collaborateurs au milieu des années 1990 ont conclu à l’absence de turbulence purement hydrodynamique dans les disques d’accrétion képlériens, et ce à tout nombre de Reynolds, ce qui paraît assez irréaliste du point de vue de la mécanique des fluides. L’exposé présentera des résultats d’études numériques en cours infirmant cette conclusion.

>>> Présentation (pdf)
>>> Présentation (ppt)

- Ecoulements atmosphériques et approximations dans les équations de Navier-Stokes
H. Gallée (LGGE)

On passera en revue quelques approximations des équations de Navier-Stokes utilisées dans les modèles décrivant la dynamique de l’atmosphère, ces approximations dépendant du type d’écoulement à représenter. Ces écoulements (cellules cycloniques ou anticycloniques, brises thermiques, nuages à développement vertical, ....) seront caractérisés par leurs extensions horizontale et verticale. On discutera notamment l’approximation anélastique et les différentes approximations de Boussinesq en analysant les termes de l’équation de conservation de la masse. L’impact sur l’équation d’état ainsi que sur l’équation décrivant le mouvement vertical seront également pris en compte. On élaborera enfin deux classifications des écoulements et des approximations des équations de Navier-Stokes qui s’y rapportent, l’une pour l’atmosphère stable et l’autre pour l’atmosphère instable.

>>> Présentation (pdf)

- Modélisation de la dynamique atmosphérique en terrain complexe
C. Chemel (LEGI)

Les points suivants seront abordés : systèmes de coordonnées, conditions aux limites et initiales, modèles sous-mailles. On prendra l’exemple de la vallée de Chamonix.
>>> Présentation (mov)

- Modélisation non-hydrostatique en océanographie
A. Wirth (LEGI)

Les méthodes pseudo spectrales basées sur des séries de Fourier semblent être les plus précises et les plus performantes, mais permettent difficilement une implementation efficace des conditions de paroi. En développant un nouveau mécanisme basé sur des frontières virtuelles, j’ai pu marier de façon efficace ces méthodes spectrales avec des conditions de paroi complexes. Dans un premier temps j’ai validé le code par des calculs de convection océanique, avec une condition limite de glissement libre à la surface et une condition d’adhérence sur un fond plat. Cette nouvelle méthode numérique est aussi à la base d’une étude des panaches convectifs dans le cas où l’axe de rotation et la direction de la gravité ne sont pas alignés. Cette étude n’a pas seulement montré que le panache convectif est dévié dans la direction de l’axe de rotation, mais aussi que sa vitesse verticale et le mélange sont gouverné par la direction de l’axe de rotation. Une études sur des courants gravitaires tri-dimensionels sur une pente dans un repère en rotation utilisant le même modèle est en cours.

>>> Article compagnon
>>> Présentation (pdf)

- Les équations de Navier-Stokes dans les noyaux planétaires
A. Fournier (LGIT) et D. Schmitt (LGIT)

Nous présentons la forme prise par les équations de Navier-Stokes dans les noyaux planétaires, et discutons les différentes échelles de temps mises en jeu. Une discrétisation de ces équations par une méthode de type Fourier-éléments spectraux est introduite, et ses propriétés de convergence sont illustrées à l’aide de quelques exemples. Par ailleurs, dans le cas d’une planète en précession, nous avons cherché à tenir compte de l’ellipticité du noyau pour mieux décrire la dynamique mise en jeu. Nous présentons une résolution de ce système dans une géométrie sphéroïdale adaptée à ce problème.

>>> Article compagnon 1
>>> Article compagnon 2
>>> Présentation (pdf)

- Turbulence en rotation : tirer profit de la contrainte de Proudman-Taylor ?
N. Schaeffer (LGIT)

Lorsque la force de Coriolis domine un écoulement en rotation rapide, on observe une tendance à la bidimensionalisation : le champ de vitesse tend à être invariant par translation le long de l’axe de rotation. Nous avons développé un modèle quasi-géostrophique (QG) amélioré en moyennant l’équation de Navier-Stokes le long de l’axe de rotation. Il permet de modéliser des fluides barotropes en rotation rapide dans un récipient axisymétrique de pente finie. Ce modèle QG est utilisé avec succès pour étudier les instabilités d’une couche de cisaillement (couche de Stewartson), qui prennent la forme d’ondes de Rossby.

En plus de la viscosité, nous avons implémenté une friction d’Ekman réaliste (à partir de la formule de Greenspan) à notre modèle QG. Ceci nous permet d’atteindre des régimes d’écoulement tournants très turbulents, avec une dissipation réaliste à toutes les échelles. Nous observons des des spectres très raides (loi puissance -5, correspondant à la turbulence d’ondes de Rossby) ainsi que des régimes stationnaires.

>>> Article compagnon


       

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